조건부 확률과 결합확률, 어떻게 구분할 것인가

다음 교차표는 미국 어느 도시에서 경찰관들이 2년 동안 승진한 현황을 담고 있다.

다음 질문에 답해 보자.

  1. 남자 경찰관이 승진할 확률은?
  2. 여자 경찰관이 승진할 확률은?
  3. 승진한 남자 경찰관의 비율은?
  4. 승진한 여자 경찰관의 비율은?

먼저 사건을 정의하자. 남자 경찰관: M, 여자 경찰관: W, 승진: A, 승진탈락:

이 질문들에 답하기 위해서는 이 교차표로부터 결합확률표를 만들어야 한다. 승진한 남자 경찰관은 288명이며, 승진한 여자 경찰관은 36명이다. 승진한 남자 경찰관의 비율이 남자 경찰관 사건과 승진 사건의 결합확률이다. 즉,

여자 경찰관과 승진의 결합확률은,

이는 곧 승진한 여성 경찰관의 비율이다. 남자 경찰관과 승진탈락의 결합확률, 그리고 여자 경찰관과 승진탈락의 결합확률은 각각 아래와 같다.

결합확률표에 들어가는 주변확률은 각 사건의 비율이다. 즉, 남자 경찰관의 비율(0.80), 여자 경찰관의 비율(0.20), 승진의 비율(0.27), 승진탈락의 비율(0.73)이다. 이 확률들을 가지면 다음과 같은 결합확률표가 만들어진다.

남자 경찰관이 승진할 확률을 보다 확률적으로 표현하면, 만약 어떤 경찰관이 남자라면 그가 승진할 확률은 얼마인가가 될 것이다. 이는 조건부 확률, 이다. 선행 사건(혹은 조건 사건)이 남자 경찰관(M)이고, 후행 사건이 승진(A)이다. 두 사건이 시간적으로 순차적으로 발생한 것임을 알 수 있다. 이를 나무 그림으로 표현하면 다음과 같다.

이 나무 그림을 보고 확률을 생각하면 훨씬 직관적이다. 먼저 경찰관 1명을 무작위로 추출하였을 때 그가 남자 경찰관일 확률은 0.8이고, 여성 경찰관일 확률은 0.2이다. 이것이 남자 사건과 여자 사건의 주변확률이다. 또한 어떤 경찰관을 무작위로 추출하였을 때 그가 승진한 남자 경찰관일 확률은 0.24, 승진한 여자 경찰관일 확률은 0.03이다. 이것은 남자 사건과 승진 사건, 여자 사건과 승진 사건의 결합확률이다. 이는 위에서 제기한 질문 3과 4에 대한 답이다.

그리고 질문 1, 남자 경찰관이 승진할 확률은 0.3이고, 질문 2, 여자 경찰관이 승진할 확률은 0.15이다. 이것은 남자 사건이 주어졌을 때 승진 사건이 발생할 조건부 확률, 그리고 여자 사건이 주어졌을 때 승진 사건이 발생할 조건부 확률이다.

물론 어떤 경찰관이 승진하였을 때 그가 남자일 확률도 조건부 확률이다. 계산해 보면 다음과 같다.

사실 조건부 확률에서 선행 사건과 후행 사건은 시간적 순서이라기보다 논리적 순서라고 보는 편이 맞을 것이다. 여하튼 조건부 확률에는 순서가 있다. 반면에 결합확률은 동시적이다. 즉, 순서가 없다. (그래서 결합확률은 동시확률이라고 불리기도 한다.) 이점도 기억해두면, 어떤 명제(혹은 문제)가 결합확률을 가리키는지 아니면 조건부 확률을 가르키는 지를 구분하는 데 도움이 될 것이다.

문제가 주어졌을 때 그것이 조건부 확률에 대한 질문인지 아니면 결합확률에 대한 질문인 지를 학생들이 잘 혼동하는 것 같아 조금 자세히 설명해 보았다. (2019-09-10, 윤영민)

조건부 확률, 곱셈법칙, 베이즈 정리(4)

(예제 3) 사십 대 여성이 정기 건강 검진의 일환으로 유방 엑스레이를 찍었다. 일주일 뒤 그녀는 유방암 검사 결과가 양성으로 나왔다는 통보를 받았다. 유방암에 관한 가족력도 없고 또 징후도 없는 그녀가 진짜로 유방암에 걸렸을 확률은 얼마일까? 

미국에서 사십 대 여성 1만명 가운데 대략 40명이 유방암을 가지고 있다(유방암 발병 확률은 40/10,000이다). 그리고 유방암 환자가 유방 엑스레이 검사에서 양성 반응이 나올 확률은 80%이다. 그러면 그 40명 가운데 32명이 양성 판정을 받는다(그 확률은 32/40이다). 또한 유방 엑스레이 검사에서 양성 반응이 나올 확률은 10%이다(그 확률은 1,000/10,000이다).

(풀이)

사건의 정의: B = 유방암 발병, P = 유방암 엑스레이 양성 결과

주변 확률:

조건부 확률: 

문제는  로 표시할 수 있다.

식 (1)의 우변에 있는 확률들의 값이 모두 있으므로 식 (1)에 대입한다.

이 결과를 말로 풀어 보면, 유방암 엑스레이 검사 결과가 양성이 나온 40대 여성이 실제로 유방암에 걸렸을 확률은 0.032, 즉, 3.2%밖에 되지 않는다.

 

(예제 4) 이메일의 스팸을 걸러내는 소프트웨어에는 베이즈 이론이 적용된다. 영어로 된 스팸메일에서 가장 많이 나타나는 단어가 shipping!이다. 스팸 메일 중 shipping!을 포함하는 메일의 비율은 0.051이고, 스팸이 아닌 메일에서 shipping!을 포함하는 메일의 비율은 0.0015이다. 그리고 많은 메일 중에서 10%가 스팸 메일이다. 만일 메일이 shipping!을 포함하고 있다면 스팸일 확률은? 만일 메일이 shipping!을 포함하고 있음에도 불구하고 스팸이 아닐 확률은? 만일 메일이 shipping!을 포함하고 있다면 스팸이라고 판명해야할까?

(풀이)

사건의 정의: Shipping = 메일에 shipping!이라는 단어가 포함됨, Spam = 스팸 메일

이 문제를 푸는 데 있어 첫번째 관문은, 여기서 “스팸 메일 중 shipping!을 포함하는 메일의 비율”이라는 표현을 확률적으로 정확히 번역해 내는 일이다. “그것은 “어떤 메일이 스팸일 때, 그 메일이 shipping!을 포함할 확률”로 번역된다. 아래와 같은 조건부 확률인 것이다.

조건부 확률: 

주변확률: 

원래의 문제는 다음과 같이 표시될 수 있다.

문제 풀이의 두 번째 관건은, 분모가 되는 shipping의 주변확률을 구하는 것이다. 주변확률은 관련된 결합확률들의 합이다. P(shipping)과 관련된 결합확률은 아래처럼 두 가지이다.

우변의 결합확률 각각을 곱셈법칙을  이용해서 주변확률과 조건부 확률의 곱으로 바꾼다.

이제 주변확률 을 구할 준비가 되었다.

위 식 (1)의 우변에 해당 확률 값을 대입한다.

이 결과를 말로 풀어보면, 어떤 메일에 shipping!이라는 단어가 들어 있을 때 그 메일이 스팸일 확률은 0.7907이고, 스팸이 아닐 확률은 0.2093이다. 따라서 만약 어떤 메일에 shipping!이라는 단어가 들어 있다면 스팸이라고 분류하는 것이 좋을 듯하다. 그런 메일 중 약 80%가 스팸이기 때문이다. (윤영민, 2018-05-25)