사회통계(8): 평균을 알면 통계학이 보인다

[문제 1] 당신이 투자를 했는데, 첫 해는 10%를 벌었고, 둘째 해에는 50%, 셋째 해에는 30%를 벌었다. 그 경우 3년간 당신의 평균 수익률은 얼마인가?

[문제 2] 당신이 경기도 이천에서 차를 몰고 서울 강남을 다녀왔다. 갈 때는 고속도로가 막혀서 평균 속도 70km/h로 갔고 올 때는 막힘이 없어 평균속도 100km/h로 돌아왔다. 그렇다면 당신은 서울을 평균속도 얼마로 다녀왔는가?

[문제 3] 모 대학의 입시에서 논술 채점을 하는데, 한 학생의 답안지를 다섯 명의 교수가 채점한다. 만약 그 점수가, 80, 90, 100, 60, 85였다면 그 학생의 논술 점수는 얼마일까?

평균을 모르는 사람은 없다. 초등학생 저학년 때 산술평균을 배우기 시작해서 고등학생 때까지 가중 평균, 기하평균, 조화평균 따위를 배운다.

그렇다고 사람들이 평균을 제대로 사용하는 것은 아니다. 금융처럼 특수한 영역을 제외하고 일반인들이 산술평균이 아닌 다른 종류의 평균을 사용하는 경우는 거의 없을 뿐 아니라 산술평균이 적합하지 않는 경우에도 그냥 산술평균을 쓰곤 한다.

산술평균은 약점을 많이 가지고 있다. 그래서 통계학에서는 여러 종류의 평균이 사용된다. 평균의 약점을 잘 인식하고 용도에 맞게 적절한 종류를 선택해 사용할 수 있다면 잘못된 숫자로 현실을 왜곡하는 실수를 크게 줄일 수 있을 것이다.

필자가 알고 있는 평균(mean or average)을 곰곰히 생각해보니 다음 7가지이다: 산술평균(arithmetic mean), 절사평균(trimmed mean), 가중평균(weighted mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean), 평방평균(quadratic mean), 이동평균(moving average)

(1) 여러 수의 덧셈이 사용되는 척도나 계산에는 산술평균(arithmetic mean)이 사용된다. 데이터 분석에서는, 아래 공식처럼 관측값을 모두 더 한 다음 관측값의 갯수로 나누면 산술평균을 얻는다.

(2) 그런데 만약 이상치(outliers)가 존재한다면 산술평균은 현실을 왜곡하게 된다. 그 경우 하나의 간단한 해결책은 이상치를 제외하고 나머지 관측값들로만 산술평균을 구하는 것이다. 그것이 위 [문제 3]에서 사용되는 절사평균(trimmed mean)이다. 논술 채점의 경우 가장 후하게 준 점수인 100점과 가장 인색하게 준 60점을 제외하고, 80점, 90점, 85점만 가지고 평균을 낸 85점이 해당 학생의 논술 점수가 된다. 대학 당국은 그렇게 매겨진 점수가 학생의 논술 능력을 잘 반영한다고 믿는다.

(3) 대학생이라면 누구나 가중평균(weighted mean)에 익숙할 것이다. 성적에 민감한 대학생들은 자신들이 받는 평점(G.P.A.)이 어떻게 계산되는 줄 잘 안다. 만약 어떤 학생이 한 학기 동안 3학점 2과목에서 각각 C(2점)와 B(3점)를 받았고, 2학점 2과목을 모두 A(4점), 1학점 2과목도 모두 A(4점)을 받았다면 학기를 망쳤다고 투덜댈 것이다. 학점이 낮은 과목들은 모두 A를 받았지만  높은 학점 2과목에서 낮은 점수를 받았기 때문이다. 평점은 이다. 학점 평균(평점)에서는 각 과목의 학점이 가중치(weight)이다. 과목의 학점을 고려하지 않고 취득 점수의 산술평균을 내면 (2+3+4+4+4+4)/6=3.5이다. 아마도 이 산술평균은 여러 과목에서 A를 받은 이 학생의 기분을 반영할 지는 몰라도 학생의 성취도를 정확히 반영한다고 볼 수는 없을 것이다. 기분은 3.5이고 현실은 3.25이다. 관측값의 비중이 다를 때는 그 비중을 가중치로 반영하는 가중평균을 사용해야 한다. 단순한 산술평균은 현실을 왜곡한다.

(4) 우리가 일상에서 사용하는 척도가 덧셈으로만 이루어져 있지는 않다. 어떤 척도는 곱셈이 사용된다. 이자율, 인구성장률, 경제성장률, 수익률 같은 중요한 지표들이 곱셈을 사용한다. 그 경우에는 기하평균(geometric mean)이 적합하다.

예컨대 위 [문제 1]를 기하평균으로 풀어보자.

3년 동안의 평균수익률은 0.29이다. 만약 산술평균으로 계산했다면 평균수익률은 (1.1+1.5+1.3)/3-1=0.3이 된다. 평균수익률이 실제보다 과대 평가된다.

산술평균은 덧셈용이다. 금융이나 경제에서는 곱셈을 사용하는 지표가 많기 때문에 기하평균이 사랑받는다. (참고: 기하평균은 제곱근을 사용하기 때문에 무리수 값이 나오는 경우가 많다. 과거에 무리수는 수로 인정받지 못하고 도형적인 의미만을 지녔다. 그래서 이름이 기하평균이 되었다.)

(5) 물리량에서도 산술평균은 맥을 못춘다. 속도가 대표적인 경우이다. 속도는 주행한 거리를 소요 시간으로 나누어 도출한다. [문제 2]에서 만약 (70+100)/2=85(km/h)라는 단순 산술평균으로 평균속도를 계산하면 거리와 시간을 무시한 것이 된다. 이천에서 서울 강남까지 왕복했으니 주행거리가 140km(70km*2)였고, 소요 시간은 1.7시간(1+0.7)였다. 140km를 1.7시간으로 나누면 평균속도는 82.35km/h이다.

이런 경우에는 아래 공식의 조화평균(harmonic mean)을 가지고 구할 수 있다.

조화평균을 사용하면 주행거리와 소요 시간을 몰라도 전체 평균속도를 구할 수 있다. 산술평균으로 구한 평균속도보다 다소 느리다.

조화평균은 동일한 금액을 배정하여 여러 가지 상품을 구입할 때 평균 상품 수량을 구하는데도 쓸 수 있다. 예컨대 같은 예산을 배정하여 사과 100개와 배 50개를 구입한다면 구입한 과일은 평균 몇 개인가? 약 67개이다.

( ). 산술평균으로 계산하면 (100+50)/2=75이다. 75개는 예산과 상품가격을 무시해서 나온 잘못된 결과이다.

조화평균은 동일한 거리 혹은 동일한 금액이라는 조건에서 비중(속도나 가격)이 다른 여러 가지 요소를 결합하는 경우에 있어 평균을 도출하는데 사용된다. 만약 동일한 거리 혹은 동일한 금액이라는 조건이 충족되지 않으면 위의 공식을 바로 사용할 수 없다. 가중치를 주어야 하기 때문이다. (예를 들어, 전남 장성에서 기차로 서울(용산)을 가는데, 100km 떨어진 익산까지는 ITX/새마을(시속 120km)로 가고, 익산에서 서울까지 250km는 KTX(시속 250km)로 갔다면, 장성에서 서울까지 간 평균속도는 얼마인가와 같은 문제에는 조화평균 공식을 바로 적용할 수 없다. 거리 100km와 250km가 가중치로 고려되어야 한다.)

(6) 통계학에서는 평균을 무척 많이 사용한다. 평균 자체도 대표값으로서 중요한 정보이지만, 평균으로부터 도출된 분산(variance)도 변이(variability)를 보여주는 유용한 도구이다.  분산은 각 관측값이 산술평균으로부터 떨어진 거리인 편차(difference)를 제곱한 값들의 평균이다. 다시 말해 분산은 편차의 평방평균(quadratic mean)이다. 편차의 평균은 0이기 때문에 편차를 제곱해서 사용한다. 분산의 양의 제곱근이 표준편차(standard deviation)이다.  분산(모집단 분산)을 계산하는 공식은 아래와 같다.

(는 모집단의 평균)

(7) 현실에서 기하평균과 조화평균은 그다지 자주 사용되지 않는다. 아마도 그것들보다 훨씬 자주 사용되는 또 다른 종류의 평균은 이동평균(moving average)이라는 도구일 것이다. 금융권 종사자나 어느 분야에 있던 시계열 데이터를 다루는 사람이라면 이동평균에 익숙하리라.

아래 그림에는 Amazon.com의 주가 변동이 제시되어 있다. 이미 이 그래프도 혼란스럽지만 만약 주가 변동이 주 단위나 일 단위로 표시된다면 더욱 혼란스러울 것이다. 그렇게 혼란한 그래프 대신 보다 매끄러운 그래프로 주가변동의 추세(아마도 그것이 당신이 원하는 것일 게다.)를 보여주는 도구 중 하나가 이동평균이다.

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이동평균은 아래와 같은 공식으로 구해진다.

 (T는 부분집합의 크기, 는 관측값)

공식이 복잡해 보이지만 사실은 간단한 계산이다. 주가에 관한 이동평균을 논의한다고 치자. T는 2일, 5일, 10일 등 평균을 내고 싶은 단위 기간이다. 선택한 단위 기간에 따라 2일 이동평균, 5일 이동평균, 10일 이동 평균 등을 계산할 수 있다.

예컨대 10일 동안의 특정 주식의 주가(일일 종가)가 아래와 같다고 하자.

2일 이동평균을 계산하면 다음과 같이 9개 값이 나온다.

(1000+1050)=1025, (1050+1100)=1075, (1100+1200)=1150, (1200+1150)=1175, (1150+1200)=1175, (1200+1250)=1225, (1250+1100)=1175, (1100+1200)=1150, (1200+1250)=1225

7/15 것은 이동평균이 없고, 7/16 것은 7/15와 7/16 것을 평균하여 1025, 7/17 것은 7/15 것을 빼고, 7/17 것을 넣어 평균하여 1075, 7/18 것은 7/16 것을 빼고 7/17과 7/18 것을 평균하여 1150….이런 식으로 계산하면 된다. 새 날짜의 관측값이 추가되면, 오래 된 날짜의 관측값이 빼는 방식으로 고정된 주기로 계속 평균을 계산해 간다.

이러한 이동평균을 사용하면 주가변동을 훨씬 매끄러운 모습의 추세선으로 표시할 수 있다. 아래는 MS 엑셀의 데이터분석 기능을 이용해서 위 사례의 이동평균을 구하고 그래프로 나타냈다.

이 사례에는 단순이동평균(Simple Moving Average, SMA)를 적용하였는데, 지수이동평균(Exponential Moving Average, EPA)와 같은 다른 변종도 있다. 여기서는 EPA에 대해서만 약간 설명하겠다. 다양한 이동평균에 관심있는 독자는 따로 학습하기 바란다.

실제로 SMA와 EPA는 큰 차이가 나지가 않는 경우가 많다. 다만 EPA는 단기 변동성을 포착하기 위해 최근 값들에 대해 가중치를 주고자 한다. EMA를 구하는 식은 아래와 같다.

여기서 P는 가격(Price), T는 기간(time period)이다. 이 공식을 풀어서 말하자면, 금일 EMA는, 금일 가격(today’s price)에 가중치를 곱한 값과, 전일 EMA에 (1-가중치)를 곱한 값의 합이다. 가중치는 이다. T가 분모에 들어 있으니 기간이 커질수록 가중치가 작아진다. 이는 기간이 클 경우 SMA와 EMA가 별로 차이가 없음을 함축한다. EMA를 계산하려면 최초의 EMA()로 시작해야 하는데, 통상 그것은 기간  T의 SMA이다.

위의 사례를 가지고 2일 지수이동평균을 구해보면 아래와 같다.

7월 16일: 1025(이동평균과 동일); 7월 17일: 1075(=1100*0.666667+1025*(1-0.666667)); 7월 18일: 1158.333(1200*0.666667+1075*(1-0.666667)); 7월 19일: 1152.778(=1150*0.666667+1158.333*(1-0.666667))….나머지는 아래 표의 D열을 참조.

빅데이터 시대에는 여러가지 종류의 평균이 쓸모가 많다. 설문조사와 같은 횡단적(cross-sectional) 데이터를 주로 사용하는 사회학 연구에서 이동평균은 아주 드물게 사용되었다. 그러나 요즘은 사회현상에 대한 종단적(longitudinal) 데이터가 흔해졌다. 사회학 연구에도 이동평균과 같은 도구를 쓸 일이 많아졌음을 의미한다. 하물며 현업에서 종단적 데이터를 다루는 도구의 필요성이 높아졌음은 말할 나위도 없으리라. (윤영민, 2017-08-24)

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