채소의 온실 재배를 시작하다

온실 화분

작년 가을 사랑채 공사를 하면서 작은 방 앞쪽의 파시오에 유리 천장을 씌우고 아파트 베란다처럼 유리창과 유리문을 달았다. 사실 겨울 밤에 찬 서리를 피해서 별을 관찰할 요량으로 별방이라 이름지었지만 ‘별방’ 사용은 금방 포기했다. 유리 부분의 천장이 너무 작은데다 유리 안쪽에 김이 많이 서리기도 해서 별을 보기에 적절치 않았다.

그래서 금년 겨울에는 온실 용도로만 사용키로 했다. 인터넷으로 화분을 구입해 상토와 배양토를 채우고 혜영이네가 준 씨앗을 뿌렸다. 적상추, 청상추, 케일, 열무 따위의 씨앗이다.

작년 겨울에는 화초만 보호할 목적으로 밤에 영상 5도 이상을 유지했지만, 금년 겨울에는 채소를 키우니 영상 10도 이상을 유지할 생각이다. 자동온도 조절기가 달린 전기 히터를 사용하겠지만 전기 요금이 너무 많이 나오면 가스나 석유 난로로 바꾸면 될 것이다. 사실 6kw 태양광 패널을 갖추어 놓고 있으니 전기 요금에 대한 걱정은 크게 없다. 

가을이 되니 전체적으로 먹거리가 풍부해졌지만 아침 샐러드에 들어가는 푸른 잎 채소의 양은 크게 줄었다. 겨울이 되면 이 현상이 더 심해질 것 같다. 그래서 집에서 먹는 채소를 직접 키우기로 했다.

아내도 나도 처음 해보는 시도라 결과가 어찌될 지 궁금하다. 과연 채소들은 잘 자랄 지, 비용은 적절한 선에서 제어할 수 있을 지, 두 평 남짓에 불과한 온실인데 과연 우리가 먹는데 충분한 양의 채소가 나올 지…. 

이러한 소소한 즐거움이 전원에 사는 은퇴자에게 주어지는 축복일 것이다. (2020-09-21)

세상을 위하는 노인은 없다

세상 기준으로 조금이라도 성공한 듯 보이는 사람들이 노년에 보이는 공통된 행태 중 하나는 과도한 자기 확신과  고집이다. 자신의 주장이 옳고, 자신의 판단이 틀림없으며, 자신이 가장 현명하다고 믿으며 남의 말에 귀를 닫아버리는 행태이다.

우리 사회에서 노년의 아집은 개인적 현상이면서 동시에 사회적 문제이다. 소수의 노인들에 국한된 현상이 아니라 수많은 노인들에게서 보이는 문제라는 말이다.

우리를 가족이나 이웃과 공존할 수 있게 해주는 근본적인 조건은 자신의 오류 가능성에 대한 인식타인에 대한 신뢰이다. 자신의 생각이 틀릴 수 있다는 인식, 다른 사람도 본인 이상으로 세상 문제를 잘 이해하고 잘 해결할 수 있다는 믿음이 있을 때 가족은 물론이고 이웃과의 평화로운 공존이 가능하다.

그런데 언제 부터인가 노인들이 변했다. 우리 사회에 관대하고 자애로운 할머니, 할아버지가 사라지고 고집불통의 노인들이 넘쳐나고 있다.

그것이 노인들의 손에 스마트폰이 주어지고 인터넷과 유튜브를 즐겨 쓰면서 부터가 아닌가 싶다. 스마트폰과 인터넷이 노인들에게 보다 넓은 세계, 보다 다양한 관점, 보다 많은 사람들과의 소통 창구가 아니라 자신들만의 세계, 자신들만의 관점, 자신들 끼리의 소통만 일어나게 만드는 폐쇄 회로로 작동하고 있다.

우리 사회에 스마트폰과 인터넷이 초래한 가장 심각한 사회적 부작용 중의 하나가 바로 노년의 폐쇄 회로가 아닌가 생각된다. 그것은 가정 내 소통의 단절, 나아가 가정의 평화마저 위협하고, 무덤에서 나온 ‘좀비’들이 젊은이들을 지배하는 세상을 만들고 있다. 사회적 관대함과 포용의 상징이 되어야 할 노인들이 배타적 태도와 불통의 상징이 되고 있는 것이다.

스마트폰과 인터넷은 우리 사회에 존재하는 확증편향(confirmation bias)과 편향동화(biased assimilation) 경향을 강화하고 있다. 특히 남북의 이념 대립과  분단, 비극적인 한국전쟁, 그리고 경이적인 경제발전을 경험한 노인 세대에서 그러한 사회 심리 현상이 두드러 진다. 자신들이 품어왔던 시대정신이 퇴조하고 자신들의 공헌과 존재가 송두리째 부정당하고 있다고 느끼는 노인들이 시대착오적 이념 대립을 부추기는 세력들의 주장에 쏠리면서 자신들의 믿음에 맞는 증거와 주장만 찾고 받아들이며, 자신들의 주장을 더욱 강화하고 있는 것이다.

스마트폰과 인터넷 덕분에 노인 세대가 퇴장하면서 안고 갔어야 할 낡은 이념과 사상이 오히려 부활하고 생각의 세대 교체, 정치와 사회 권력의 세대 교체가 지연되는 현상이 발생하고 있다. 나는 이것을 하나의 좀비 현상이라고 본다. 생명 없는 자들이 마치 생명 있는 존재인 것처럼 나돌아 다니며 사회를 위협하고 있는 것과 다르지 않다는 말이다.

디지털 시대에 노인들이 세상을 위해서 할 수 있는 유일한 선택은 사회로부터 한 걸음 물러나 관용의 모범을 보이고 후 세대를 믿어주는 일이다. 세상을 구하겠다고 나서는 순간 노인은 좀비가 된다. 세상에 튀어나온 노인 치고 세상을 참으로 위하는 사람은 없다. “노인을 위한 세상이 없는” 것 이상으로 세상을 위한 노인은 없다. 노인의 애국적 행동은 시대착오적이고 반사회적인 집착일 뿐이다.

노인의 목소리가 큰 가정에 평화는 없다. 노인들의 목소리가 큰 사회에도 평화는 없다. 어찌해야 좋을까. 나도 노인이니 그냥 안타까워 할 수밖에….(2020-09-21)

노년에 찾아오는 작별의 순간

늙어지면 무엇보다 헤어짐과 익숙해진다. 살다가 헤어져야 할 상대가 참으로 많다. 헤어짐하면 사랑하는 사람과의 이별이 떠오르겠지만, 사실 우리는 직업, 일, 조직, 물건, 삶 등 헤아릴 수 없이 많은 것과 영원히 갈라서야 한다.

늙는 것은 헤어짐의 연속이다. 그리고 죽음은 지구 행성에서 인연을 맺었던 모든 것과의 종국적 이별이다. 때문에 늙는다는 것은 죽음의 연습이라고 말할 수 있다. 늙음과 죽음 사이에 다리를 놓는 것이 바로 이별인 셈이다.

늙어서 겪게 되는 이별은 어느날 갑자기 찾아온다. 때로 이별은 당사자들의 의사와 관계없이 찾아오기도 하지만, 왕왕 그것은 심리적 징후를 대동하고 찾아온다. 심리적 징후란 이별을 준비하게 만드는 마음의 변화이다. 그것은 섬세한 사람이라면 결코 놓치지 않을 힌트이다.

지속적으로 상대에 대한 관심이 시들해지다가 상대 자체가 무의미해 보이는 현상이야말로 가장 확실한 이별의 징후이다. 그 때가 오면 과거 인연에 관계없이 상대를 과감히 털어내야 한다.

평생 공부해 온 사회학이 최근 시답잖게 느껴진다. 내겐 사회적 현안들에 대한 관심은 남아 있지만, 사회학자들이 만들어 낸 사회학적 쟁점들에 대해서는 별로 관심이 가지 않는다. 사회학적 고담준론이 무의미한 탁상공론처럼 느껴지기 시작했다. 사회학과 헤어질 때가 된 것이다. 그것을 평생 공부해 왔다는 사실이 그것과의 작별을 막지는 못할 것이다.

학술 논문을 쓰는 작업도 별로 의미 있게 느껴지지 않는다. 아직 마무리해야 할 논문이 여러 편 있지만 그것을 마감할 추동력이 사라져 버렸다. 논문 작성도 털어버릴 때가 된 것이다.

현실 정치에는 일부러 관심을 두지 않는다. 노인이 국가와 민족을 위하는 길은 정치를 후배들에게 온전히 맡기는 것이다. 우리 사회가 한시도 조용할 날이 없는 것이 무엇보다 노인들의 지나친 ‘애국’  때문이다. 좌우 가릴 것이 없이 우리 사회의 노인들의 절제 없는 나라 사랑이 문제이다. 어느 시대에도 상왕의 존재는 왕의 권위를 위협하고 사회 질서를 어지럽힐 뿐이다.

늙어서의 미련은 결코 아름답지 않다. 그것은 그냥 추한 혹은 기껏해야 안타까운 집착일 뿐이다. 모두 내려놓고 자유로워져야 한다. 그리고 가장 중요하다고 생각되는 일, 가장 중요한 여겨지는 사람들에게만 관심을 남기면 된다. 그것이야말로 궁극적 이별에 대한 확실한 준비이다. 종국에는 그나마도 털어버려야 할 것이다. 그것이 이 행성을 떠나는 가장 아름다운 모습이 되리라. (2020-09-20) 

확률분포(6): 베타분포

베르누이분포나 이항분포처럼 성공과 실패의 이항 선택을 다루는 확률분포로 베타분포(Beta distribution)가 있다. 베르누이와 이항 분포에서는 성공의 횟수가 확률변수인데, 베타분포에서는 성공의 비율이 확률변수이다.

베타분포에 관한 직관적인 사례로는  야구선수의 타율이 있다. 타석 중 안타의 비율이 타율이다.

타자의 시즌 타율을 예측하는 문제를 생각해 보자. 시즌 초반에 어떤 타자의 시즌 타율을 예측하는데는 두 가지 방법이 있을 것이다. 그 타자가 상당히 유망한 타자라고 하자.

첫째, 시즌 초기의 몇 게임에서 얻은 타율을 가지고 시즌 타율을 예측하는 방법이 있다. 전혀 타당성이 없는 방법은 아니다. 그런데 만약 그 선수가 시즌 초반에 슬럼프에 빠져 있어 몇 게임 동안 안타를 전혀 치지 못했다면, 그 때까지 그 선수의 타율은 0.00일 것이고, 그의 시즌 타율은 0.00으로 예측된다. 반대로 시즌 초반에 잘 맞아서 몇 게임 동안 그 선수의 타율이 0.70이라면, 그의 시즌 타율은 0.70으로 예측된다. 이 두 가지 경우 모두 극단적인 예측이 되고, 실제로 들어맞을 가능성이 희박하다.

둘째, 전년도 타율에 관한 정보를 이용하는 방법이다. 실제적으로 프로야구에서 유능한 타자라면 시즌 타율이 최소한 2할대는 넘을 것이고 반대로 아무리 유능하다고 해도 통상 4할대가 넘지는 않는다. 이러한 현실을 반영하여 시즌 타율을 예측하는 방법은 선행 시즌의 타율과 시즌 초반의 성적을 모두 반영하는 것이다. 시즌 초반에 타율이 낮거나 높으면 그것을 전년도 타율이나 선수의 총 평균 타율에 적절히 반영하여 조정하면 훨씬 합리적으로 해당 시즌의 타율을 예측할 수 있을 것이다. 이것을 가능하게 해주는 것이 베이즈 추론이다. 베타분포는 베이즈 추론에서 널리 사용된다.

베타 분포는 비율이나 백분율(%)로 된 확률 변수를 예측하는데 유용한 확률모형이다. 베타 분포는 간단히 다음과 같이 표기한다.

베타분포는 PDF나 모멘트의 도출 과정이 좀 복잡하므로 먼저 베타 분포의 특징부터 알아보자.

첫째, 기본적인 베타분포는 확률변수가 0과 1 사이의 실수값을 갖는다(). 확률이나 백분율이 바로 그러한 경우이다. 아래 그림은 여러가지 형태의 베타분포를 보여준다. 그런데 X 축이 0과 1 사이로 되어 있음을 볼 수 있다.

Probability density function for the Beta distribution

둘째, PDF의 모양이 두 개의 모수 에 의해 결정된다. 이 모수를 하이퍼 퍼라미터(hyper-parameter)라고 부른다. 위 그래프에서 , 가 둘 다 0.5이면, 붉은색 선 그래프가 되고, 이면 청색 선 그래프, 이면, 녹색 선 그래프이다. 는 그래프의 모양을 결정짓는 형상 모수(shape parameter)이다.베타분포는 형상 모수의 값만 바꾸면 매우 다양한 모습의 확률 모형을 나타낼 수 있는 장점이 있다. 그것은 그만큼 적용성이 높음을 시사한다.

베타분포의 PDF는 확률변수 X(성공 비율)와 그것의 반사(reflection)인 (1 – X)(실패 비율)의 멱함수(거듭제곱 함수, power-law function)로 다음과 같이 정의된다.

여기서

형상 모수 는 양의 실수이고, 베타함수 는 확률분포의 총 확률(적분 값)을 1로 만들어 주는 정규화 상수(normalization constant)이다.

베타함수는 감마함수를 사용하여 나타낼 수도 있다.  이 식이 적분으로 나타낸 것보다 계산을 간편하게 할 수  있다. 베타함수 값은 각 형상모수의 감마 함수(Gamma function)를 두 형상모수의 합의 감마 함수로 나눈 값이다.  감마 함수는 계승(factorial)을 실수 및 복소수로까지 확장한 것이다.

베타분포의 모멘트는 다음과 같다.

그런데, 는 어떻게 해석될 수 있을까? 그 모수들은 성공횟수와 실패횟수를 나타낸다고 생각할 수 있다. 이항분포의 지수[]처럼  (혹은 )는 성공 횟수, (혹은 )는 실패 횟수로 간주될 수 있다.

예컨대 만약 성공할 지 실패할 지를 전혀 예측할 수 없으면 균일분포로 놓으면 될 것이다. 이면 베타분포는 균일분포가 된다. 아래 그림은 0과 1 사이의 무작위 값 1천 개를 구해서 그린 베타분포의 확률밀도함수들이다(엑셀에서 수행한 시뮬레이션 자료는 링크를 참조). 진한 파랑색 선이 균일분포를 나타내는 베타분포이다.

성공횟수와 실패횟수가 각각 1, 1이라면, 성공률은 0.5, 실패율도 0.5일 것이다. 성공과 실패라는 두 가지 경우만 있는 어떤 현상이 있고, 우리가 그 현상에 대해 아무런 사전 정보도 없다면, 어떤 결과가 나올 지 예측할 수 없다. 베타분포 혹은 균일분포는 이러한 이러한 상황을 의미한다.

만약 다음 실험에서 성공이 나왔다면, 퍼라미터가 인 베타분포가 될 것이다. 그림에서 그것의 확률밀도함수는 주황색 사선이다. 성공률 기대값은 2/3 = 0.6666…이다. 성공률의 기대값이 0.5에서 0.67로 약간 상승했다.

만약 그 다음 실험에서도 성공이 나왔다면, 퍼라미터가  인 베타분포가 될 것이며, 그림에서 그것의 확률밀도함수는 회색 선이다. 성공률의 기대값은 3/4 = 0.75이다. 당연히 성공률의 기대값이 또 상승했다.

그 다음 실험에서 실패가 나왔다면, 퍼라미터가  인 베타분포가 될 것이며, 그림에서 그것의 확률밀도함수는 노란색 선이다. 확률밀도함수의 오른쪽 끝 부분이 아래로 내려갔다. 당연히 성공률의 기대값이 하락했을 것이다. 실제로 성공률의기대값이 3/5 = 0.6로 다소 떨어졌다.

그 다음 실험에서 또 실패가 나왔다면, 퍼라미터가 인 베타분포가 될 것이며, 그림에서 그것의 확률밀도함수는 옅은 파랑색 선이다. 그래프의 중심이 더 왼쪽으로 이동했음을 알 수 있다. 성공률의 기대값이 더 하락했음을 나타낸다. 실제로 성공률의 기대값은 3/6 = 0.5로 더 떨어졌다.

그러한 실험을 11번 했는데, 성공이 10번이고 실패가 1번이라면, 퍼라미터가  인 베타분포가 될 것이다. 그림에서 그것의 확률밀도함수는 연두색 선으로 오른쪽 끝 부분이 가파르게 상승하고 있다. 성공률의 기대값이 상당히 큼을 시사한다. 실제로 성공률의 기대값은 10/11 =0.9090…로 매우 높다.

그런 실험을 17번 했는데, 성공이 10번이고 실패가 7번이라면, 퍼라미터가 인 베타분포가 될 것이다. 그림에서 진한 파랑색 선이다.무게중심이앞으로 그래프에 비해 왼쪽으로 많이 내려갔다.실제로성공률의기대값은10/17=0.5882로 성공률의 기대값이 크게 내려갔다.열번 성공한 후에 내리 일곱번 실패했다면 성공률의 기대값이 크게 떨어져도 전혀 놀라운 일이 아니다.

끝으로 다른 실험 하나.

어떤 온라인 쇼핑 사이트의 고객 평가는 ‘좋음’과 ‘나쁨’ 두 가지 선택만으로 되어 있다. 그런데 500명이 평가에 참여해서, 400명이 좋음을 선택했고, 100명이 나쁨을 선택했다고 하자. 그렇다면 이 사이트의 성공률의 기대값(평균 성공률)은 얼마일까?

위 식 (2)를 이용해서 계산하면, 400/500 = 0.8이다. 성공률(좋음으로 평가받을 가능성)은 0.8이다. 그림에서 진한 빨강색 선이 이 실험 결과를 나타내는 확률밀도함수이다. 그것은 인 베타분포이다. 그래프를 보면 0.8을 중심으로 사건이 집중적으로 분포되어 있음을 알 수 있다. 이는 같은 성공률 일지라도 10번에 8번 성공했을 때보다 500번중 400번 성공했을 때 성공률의 기대값 0.8에 대해 더 크게 확신할 수있음을 시사한다. 다시 말해 성공률이 0.8을 크게 벗어날 가능성이 없다는 말이다.

예제 1) 한 온라인 쇼핑몰에는 고객이 판매 상품에 대한 좋음과 나쁨 두 가지 평가할 수 있다. 그런데 어떤 제품에 대해 현재까지 400개의 좋음과 100개의 나쁨 평가를 받았다. 그렇다면, 이 제품이 고객들로부터 좋음을 받을 확률이 0.85 이상일 확률은?

(해제) 을 대입해서 엑셀의 베타함수 BETA.DIST를 이용한다.

BETA.DIST(0.85, 400, 100, TRUE)를 계산하면, 0.998568이다. 이는 0.85까지의 누적확률분포의 값이므로, 0.85 이상일 확률을 구하면, 1 – 0.998568 = 0.001432가 된다.

(2020-09-18)

은퇴자에게 가드닝이란…

이른 아침의 앞뜰

“이렇게 잘 가꾸어진 잔디는 처음이에요.” 어제 다녀간 혜영이 엄마의 코멘트였다. 그녀는 오랫동안 플로리스트였기 때문에 그 말이 남다르게 느껴졌다.

어느 집 정원이나 주인의 철학, 선호, 그리고 성격을 반영한다. 첫째, 정원은 제3의 거실이다. 정원은 구석구석 빈틈이 없이 관리되어야 한다고 생각한다. 둘째, 아내와 나는 비어 있는 공간이 좋다. 잔디밭은 그러한 선호를 반영한다. 셋째, 아내와 나는 화려하지 않고 자그마한 나무가 좋다. 남천이나 소나무는 그러한 편향을 반영한다. 넷째, 나는 아기자기한 소품들을 좋아한다. 그래서 이런저런 소품을 구해다 놓았다. 그렇다고 정원이 소품들로 채워지는 것을 바라지는 않는다. 다섯째, 아내와 나는 외부와의 소통을 좋아한다. 그래서 담이 없고 대문은 흔적만 있다.

필암문화원 정면

매일매일 뜰에 있는 모든 것을 살핀다. 나무, 꽃, 잔디는 물론이고 바위와 작은 돌멩이 하나까지도 그냥 지나치지 않으려고 한다. 정원을 손질하며 돌아보는데 1시간 정도 걸리지만 그 때가 내게는 하루 중 가장 행복한 순간이다.

은퇴자에게 가장 큰 축복은 마음의 여유로움이다. 돈, 명예, 권력와 같은 세상 것을 다 털어버리고 나서야 얻어지는 소중한 축복이다. 내게 가드닝은 은퇴 생활의 백미이다. (2020-09-17)

은퇴….10년은 준비해야

내가 정년보다 1년반 먼저 퇴직하려고 했을 때 주위에 있는 거의 모든 사람들이 말렸다. 교수직이 편하고 월급도 많은 데 하루라도 더 해야지 보장된 정년도 안 채우다니 말이 안된다는 것이었다.

그러나 내 생각은 달랐다. 어떤 일이든 대충 할 수 없었던 나는 60대 초반을 넘어가면서 교수직이 힘들었다. 급변하는 세상 때문에 공부는 끝없이 밀려있고 생전 보지도 듣지도 못하던 분야까지 공부를 하려니 정말 어려웠다. 컴퓨터 과학이나 데이터과학은 전공상 그려러니 하지만 신경과학, 인지과학, 생물학, 수학, 베이즈 통계 등은 60대 늙은 나이에  혼자서 새로 공부하기는 정말 힘든 일이었다.

지금도 여전히 새로운 분야를 공부하지만 현직 때처럼의 스트레스는 없다. 오히려 어려운 공부가 즐겁기까지 하다.

그런데 나 뿐만이 아니라 아내까지 정년보다 일찍 퇴직을 할 수 있었던 것은 아마도 무엇보다 미래에 대한 불안이 크지 않았기 때문일 것이다. 자식들 공부도 다 시켰고, 살면서 이래저래 졌던 빚도 모두 갚았으며, 노후를 위한 터전과 수입원을 마련해 두었기 때문에 언제든 사표를 내도 두렵지 않은 상태였다. (딱 그저 남에게 신세 안 지고 살 수 있을 정도의 재정 수입을 의미한다. 오해 마시라.)

대도시로부터 적당히 떨어진 곳에서 10여년 동안 전원 생활을 하면서 노후에 대한 적응 과정을 충분히 거쳤다. 퇴직을 한다고 해도 새로운 도전이 별로 없을 것이었다. 낯선 곳으로 이사가서 새로운 이웃들과 어울리고, 새로운 환경에 대한 적응에 시행착오를 거치지 않아도 되니 말이다. 50대 중반부터 두 곳의 농촌 마을에서 살았기 때문에  리스크가 큰 적응 과정을 모두 마친 셈이었다. 더구나 검소, 절약, 근면, 혼자 사는 법 등 은퇴 후 생활에 필수적인 생활 자세와 노하우를 그 10년 동안에 거의 다 익혔다.

다른 집들처럼 재정적으로 자식들의 뒤를 보아주지는 못하지만 적어도 부모 리스크는 없도록 만들 수 있다는 생각이다. 늙은 부모가 자식에게 부담이 되어서는 안된다. 그것만 철저히 지켜도 은퇴후 부모로서는 충분히 역할을 하는 것이라고 믿는다. 오늘날에는 자녀의 삶이 불확실하기도 하고, 평균 수명이 길어져 부모와 자식이 함께 노인이 되어야 할 가능성이 높기도 하기 때문에 누구나 자신의 앞가림을 스스로 해야 한다.

은퇴 후의 생활에 대해서는 10년 정도의 준비가 필요하지 않나 생각한다. 재정적, 사회적, 정신적, 그리고 직업적으로 충분한 시간을 갖고 준비해야 한다. 은퇴 후에도 은퇴 전과 마찬가지로  24시간 365일의 시간이 주어진다. 무엇을 하고 살 지, 무엇을 먹고 살 지, 무엇을 위해 살 지, 어떻게 살 지, 그리고 누구와 더불어 살 지를 가급적 스스로 선택할 수 있어야 한다. 은퇴 준비가 늦어질수록 선택지가 좁아지고 자신의 의지와 선택이 아니라 남의 결정과 ‘운명’에 따라 살게 된다. (2020-09-13)

경건함을 느낄 수 있는 정원 소품

성모상과 성요셉-예수상

성모상은 아내가 결혼 선물로 받은 것이니 우리 가정에 온 지 39년이 된 셈이다. 성요셉과 아기 예수상은 둘째가 초등학교 때 교리 시험에서 우수한 성적을 거두어 받은 상품으로 집에 왔으니 17-18년은 된 셈이다.

이 상들은 실내에 보관할 때와 달리 자꾸 씻어주어야 한다. 기독교인들이나 회교도들은 우상이라고 비판하겠지만 나는 이 상들을 우상이라고 보지 않는다. 이 상들은 아내와 내게 경건한 마음을 갖게 해주는 힘이 있다. 그러면 충분히 가치가 있지 않는가?

이번 추석에 아이들이 오면 크리스마스 장식을 해야겠다. 대나무로 비닐 하우스 동굴을 만들어 그곳에 구유 장식을 놓고 주위는 점멸등으로 장식하면 될 것이다. 올해는 식구들이 함께 작업하면 작년보다 훨씬 힘이 덜 들고 잘 만들 수 있을 것이다.

길에서 본 성모상과 성요셉-아기예수상

길에서 보면 상들이 너무 작아서 잘 보이지 않는다. 더 크면 행인들이 우리집을 수도원이나 성당으로 착각할 수도 있을테니 작아서 다행이라 생각된다.

정원에 경건함을 느낄 수 있는 약간의 장식이 있는 것이 나쁘지 않다. 은퇴를 하고 나니 이러한 소소한 것들에 신경을 쓸 수 있어 좋다. (2020-09-15)

‘필암문화원’ 현판을 달다

드디어 ‘필암문화원’ 현판을 달았다. 비록 소박한 목표를 가지고 있지만 4년 전에 시도했다가 접었던 계획을 이제야 실천에 옮긴다.

온라인의 ‘윤영민의 정보사회학 글방’이 타이틀은 약간 다르지만 오프라인 대응물을 갖게 된 것이다. 지난 5년 동안 운영된 온라인 ‘글방’에는 하루 평균 100명 이상의 방문자가 있다. 비록 많은 수는 아니지만 적지 않은 사람들에게 나의 지식이 다소 도움이 되기 때문이라고 추측된다.

필암문화원의 1차적 활동은 강의와 출판이다. 대학교수로서 내가 평생 하던 일이다. 온라인과 오프라인에서 적어도 1주일에 1회 이상 강의와 출판을 해나갈 예정이다.

현재는 대학 e-러닝 기반 학점인정 컨소시엄에 3학점짜리 한 개의 강좌(‘정보사회학 입문’)을 진행 중에 있으며, 이번 학기에는 군 e-러닝을 포함해서 212명의 학생이 수강하고 있다.

출판 사업으로는 ‘윤영민의 정보사회학 글방’ 블로그에 1주에 1개 이상의 글을 게시하고 있다. 내년 봄학기에 빅데이터와 예측이라는 새로운 시대 환경에 걸맞는 사회통계학 과목을 온라인으로 개설할 예정인데 그 준비를 위해 블로그에 강의노트를 올리고 있는 중이다.

오프라인 활동은 아직 미정이다. 우선은 약간의 예산을 준비해 마을의 협동적인 활동을 지원하고, 코로나 19 사태가 종식되고 나면, 연간 몇 차례 초청 공연을 주최할 계획이다.

현재와 완전히 새롭거나 크게 달라지는 것은 없다. 그 동안 내가 개인적으로 하던 활동을 필암문화원이라는 조직이 하는 활동으로 바꿀 뿐이다. 필암문화원은 임의단체로 시작해서 몇 년 후에는 법인으로 만들 예정이다.

작지만 사회에 도움이 되는 시도가 되었으면 좋겠다.(2020-09-14)

평안 = 노동 free, 돈 걱정 free, 스트레스 free, 질병 free?

60대 중반이 되면 사람들이 앞서거니 뒷서거니 하면서 거치게 되는 인생의 단계가 은퇴이다. 어떤 사람은 오랫동안 은퇴 후의 삶을 준비하고 어떤 사람은 갑작스럽게 은퇴를 맞이하지만 누구도 은퇴를 피할 수는 없다.

그런데 흥미있게도 은퇴자들의 삶이 크게 다르지 않다. 여행을 좋아하는 누군가는 오랫동안 해외 여행을 가기도 하고(그나마 코로나 19 때문에 금년에는 그것이 옵션에서 빠졌다), 또 누군가는 부지런히 국내 여행을 다니기도 한다. 휴식이 필요했던 누군가는 실컷 잠을 즐기고, 원없이 영화를 보기도 하며, 사진 촬영, 악기 연주, 그림 그리기 등 미루어 두었던 취미생활에 빠지기도 한다. 물론 그것은 재정적이나 건강상의 여건이 뒷받침 되는 사람들의 경우이다.

게다가 은퇴자는 누구나 많은 적응을 요구받는다. 아주 운이 좋은 소수를 제외하곤 대다수의 은퇴자들은 크게 줄어든 재정 수입이나 불안한 재정 수입에 적응해야 하고, 무력감, 소외감, 박탈감, 혹은 외로움 같은 심리적 상태에도 적응해야 한다. 그리고 좀 왕성하게 사회활동을 했던 사람들은 타인에 의한 망각에도 익숙해져야 한다. 또한 재정적 어려움과 심리적 위축은 육체에도 부정적인 영향을 초래한다. 노화가 빨리 진행되어 신체적으로 여러 가지 징후가 나타난다. 은퇴자는 이러한 신체적 변화에도 적응해야 한다.

삶에서 생산적인 활동이 빠지면서 적지 않은 은퇴자들은 삶의 의미나 보람 혹은 사회적 위상에 위협을 느낀다. 직업적인 후퇴는 사회적으로도, 가정적으로도 무력감을 수반한다. 짐짓 아무 일도 없는 것처럼 예전 그대로 행동하기도 하지만 머지 않아 가족이나 이웃이 그런 행동을 받아주지 않게 된다.

그것은 정도와 진행 속도가 다르기는 하겠지만 누구나 거쳐가야 하는 적응 과정이다.  은퇴 후 그렇게 몇 달 혹은 몇 년의 적응 과정을 보내고 나면, 은퇴자들에게는 누구에게나 공평하게 매일매일 하루 24시간을 어떻게 보낼 것인가라는 과제가 안겨지고, 별다를 것 없이 반복되는 일상이 주어진다. 그리고 더욱 공평하게도 누구에게나 크고 작은 병들이 찾아온다.

은퇴 이후 안타깝게도 누구나 꿈꾸었던 평안한 노후가 결코 평안하지 않다는 사실을 발견하는데 그리 오래 걸리지 않는다. 매일 복용해야 하는 약의 종류가 늘어가고 먹지 말아야 할 음식이 늘어가며 자신이나 배우자가 덜컥 암 수술이라도 받게 되면, ‘평안’과 ‘안녕’을 새롭게 인식해야 하는 때가 찾아 온다.

은퇴 후의 평안은 그냥 아무일 없이 편히 쉬는 삶도 아니고, 돈 걱정이 없는 삶도 아니며, 스트레스 없는 삶도 아니고, 병이 없는 삶도 아니다. 그런 평안은 보험회사 광고에나 있을 뿐 현실에는 존재하지 않는다.

어쩌면 평안이란, 사회와 자신을 위한 얼마간의 노동, 사회 초년생의 벌이 밖에 되지 않는 작은 수입, 사회와 가족으로 인한 스트레스, 꾸준히 관리해야 하는 지병(들)이 함께 하는 일상 속에서 은퇴자 스스로 발견해야 하는 마음의 상태일지도 모른다. 그리고 이 중에서도 노동이야말로 은퇴 후 평안에 가장 중요한 요소가 아닌가 생각된다. 적당한 노동은 수입 문제, 스트레스 문제, 그리고 지병까지 어느 정도 해소해 주는 요소이기 때문이다.

문제는 산업 현장에서 적당한 노동의 기회를 찾기가 어렵다는데 있다. 특히 도시의 은퇴자들에게 개방된 일자리는 흔치 않다. 현대와 같은 노동절약적인 사회에서는 갈수록 노인에게 돌아가는 취업 기회가 줄어들 것이다.

그런데 발상을 바꾸면 어디에서나 생산적인 활동을 발견할 수 있다. ‘생산’이 꼭 돈벌이일 필요는 없지 않는가.

베란다에다 꽃을 가꾸고, 옥상에 채소를 재배하는 것도 생산적인 활동이며, 집안 일을 거들고 손주를 돌보는 것도 생산적인 활동이다. 길 앞 도로를 청소하고 공공 시설에서 자원 봉사를 하는 것도 물론 생산적인 활동이다. 주위를 돌아보면 생산적인 일이 천지이다. 돈을 받는 일이 드물 뿐이다.

나는 삼복 더위에 땡볕 아래에서 일주일이 멀다하고 뜰의 잔디를 깎는다.  그것을 보는 사람 열명이면 아홉이 나의 그런 행동을 이해하지 못한다. 땀을 비오듯이 쏟아가며 잔디깍이를 밀고 다니는 나의 모습을 안타깝게들 보는 것 같다.

그러나 사실 나는 잔디와 풀들에 감사한다. 환갑을 한참 넘긴 나를 누가 그렇게 잔인하게 부릴 수 있겠는가? 돌아서면 자라나는 잔디와 잡초 덕분에 나에게는 끝없이 일이 생긴다. 얼마나 고마운 일인가. 너무 힘들어지면 더욱 기계화를 하든지, 유료 인력을 써서 내 노동량을 줄일 것이다. 그러나 그 때가 올 때까지 나는 정원을 가꾸는 노동을 계속 할 것이다.

잘 가꾸어진 집과 정원을 보는 우리 가족은 물론이고, 이웃이나 지나가는 행인도 즐겁지 아니하겠는가. 그래서 잔디와 꽃나무를 가꾸는 일은 텃밭에 채소를 가꾸는 것 이상으로 생산적이다. 비록 그것으로 한 푼의 수입도 올리지 못하고 오히려 기계와 도구를 사는데 지출이 들어가지만 가드닝은 매우 생산적인 활동이다. 적지 않은 사람들에게 행복감을 주기 때문이다.

“이제 아무 일도 하지 말고 편안히 쉬세요!”라고 노인에게 말하는 것은 축복의 인사가 아니다. “너무 과하게 일하지 마세요!”라고 말하면 모를까. (2020-09-03)

확률분포(5): 지수분포

연속확률분포에서 두 번째로 지수확률분포에 대해 알아보자. 지수분포는 이산확률분포에서 공부한 포아송분포와 관련이 깊다. 그래서 포아송분포에 대한 복습 겸해서 지수분포를 두 번째로 선택했다.

포아송분포는 시간 구간 당 혹은 공간 구간 당 사건의 발생횟수에 대한 확률분포이며 일정성 조건과 독립성 조건을 갖는다고 했다. 그리고 포아송 분포의 퍼라미터는 이며, PDF는 아래와 같다. 는 구간당 발생횟수의 기대값(평균)이다.

아래와 같은 사례에 포아송분포가 적용될 수 있다.

  • 하루동안 발생하는 고속도로 교통사고 수
  • 하루에 찾아오는 환자의 수
  • 한 시간 동안 세차장에 도착하는 자동차의 수
  • 어떤 특정 진도 이상의 지진이 발생하는 수
  • 한 시간 내 스타박스의 드라이브스루 창구에 도착하는 자동차의 수
  • 일정 시간 동안 톨게이트를 통과하는 차량의 수
  • 한 시간 동안 사무실에 걸려온 전화의 수
  • 국도 1km 당 패인 구멍의 수
  • 단위 길이당 옷감의 흠집수

모두 확률변수가  시간 구간 혹은 공간 구간 당 사건의 발생 횟수이다. 그런데 지수분포는 사건이 발생하는 시간 간격 혹은 거리 간격이다. 사건의 발생 횟수는 0과 양의 정수이지만, 사건이 발생하는 시간이나 시간 간격은 0과 양의 실수가 될 것이다. 때문에 포아송 분포는 이산확률분포이고, 지수분포는 연속확률분포이다. 위에서 든 포아송 분포의 확률변수를 지수분포의 확률변수로 바꾸면 다음과 같다.

  • 고속도로 교통사고가 발생하는 시간 간격
  • 환자가 찾아오는 시간 간격
  • 세차장에 자동차가 도착하는 시간 간격
  • 어떤 특정 진도 이상의 지진이 발생하는 시간 간격
  • 어떤 특정량의 방사선을 DNA에 쬐었을 때 돌연변이가 발생하는 시간 간격
  • 스타박스의 드라이브스루 창구에 자동차가 도착하는 시간 간격
  • 차량이 톨게이트를 통과하는 시간 간격
  • 사무실에 전화가 걸려오는 시간 간격
  • 국도에 패인 구멍 사이의 거리 간격
  • 옷감의 흠집 사이의 거리 간격

확률변수 X가 지수(확률)분포를 따르면 다음과 같이 간략히 표기된다.

퍼라미터는 하나이다. 포아송 분포와 같다. 지수분포를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

File:Exponential probability density.svg
By Skbkekas – Own work, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9508326

의 크기에 따라 PDF의 모습이 달라짐을 볼 수 있다. 가 작을수록 X 값이 증가할 때 확률밀도의 감소가 완만해진다.

확률변수 X의 지수분포는 다음과 같이 정의된다.

여기서 는 포아송 분포에서와 동일하게 단위 시간 당 평균발생횟수이다. , 는 시간 간격다. 지수분포의 모멘트는 아래와 같다.

지수확률함수 (2)를 가지고 X의 특정 구간에 대한 확률을 구하려면, 적분을 해야 하는 데 번거로운 과정을 생략하고 아래 누적확률함수(cumulative distributive function, CDF)를 사용하면 된다. CDF는 의 값을 준다. 즉, 확률변수 X가 어떤 특정한 값() 이내일(같거나 작을) 확률을 준다. CDF를 응용하면 확률변수 X가 어떤 값 이상일(같거나 클) 확률, 혹은 어떤 두 값 사이에 있을 확률을 모두 간단한 계산으로 구할 수 있다.

File:Exponential cdf.svg

By Skbkekas – Own work, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9508326

가 작으면, 확률변수 X 값이 증가함에 따라 값의 증가가 서서히 이루어짐을 볼 수 있다.

예제 1) 보스턴 소방서는 한 시간 당 평균 1.6번의 911 전화를 받는다. 시간당 전화수가 포아송 확률분포를 따른다고 가정하자.

1) 보스턴 소방서에 911 전화가 걸려오는 평균 시간 간격은?(단위:분)

2) 911 호출 사이의 간격이 한 시간 이내일 확률은?

3) 911 호출 사이의 간격이 30분 이내일 확률은?

4)  911 호출 사이의 간격이 5분 이상이면서 20분 이내일 확률은?

해제) 포아송 분포의 퍼라미터 가 1.6이다.

문제 1) 전화가 걸려오는 평균 시간 간격은

문제 2) 호출 사이의 간격이 한 시간 이내일 확률은?

문제 3) 호출 시간의 간격이 30분 이내일 확률은?

이 문제는 지수분포 PDF에서 에 해당되는 면적을 구하는 것이다. 아래 그림에서 주황색 부분의 면적이 이에 해당된다.

문제 4) 호출 시간의 간격이 5분 이상 20분 이내일 확률은?

여기서는 계산을 간략히 하기 위해 분으로 간격을 표시했기 때문에 람다 값이 0.0267이다. 1.6/60 = 0.0267.이 문제는  지수분포 PDF의 에 해당되는 면적을 구하는 것이다. 아래 그래프에서 주황색 부분이다.

예제 2) 어느 세차장에 들어오는 자동차가 한 시간에 평균 10대이다. 자동차가 들어오는 시간 간격이 5분 이하일 확률은?

해제) 시간 당 자동차가 들어오는 댓수는 포아송분포이고, 자동차가 들어오는 시간 간격은 지수분포이다. 여기서는 시간 간격을 물으니 지수분포가 적용된다. 문제에 람다가 시간 단위로 되어 있는데, 확률은 분 단위로 구해야 하기 때문에 람다 값의 환산이 필요하다. 환산하면 1분당 평균 0.1667 대가 세차장에 들어온다.

식 (5)에 을 대입하면,

지수함수는 엑셀에서 EXPON.DIST 함수로 계산할 수 있다. 이 문제의 경우 누적 확률 함수로 계산하면 되기 때문에 세 번째 퍼라미터가 TRUE로 선택되었다. 아래 그림을 참고하기 바란다.

예제 3) 어떤 사거리에 다음 차가 도착하기까지 걸리는 시간이 평균 12초의 지수확률분포를 따른다.

1) 지수확률분포의 그래프를 그리시오.

2) 다음 차가 도착하는데 걸리는 시간이 12초 이하일 확률은?

3) 다음 차가 도착하는데 걸리는 시간이  6초 이하일 확률은?

4) 다음 차가 도착하는데 걸리는 시간이 30초 이상일 확률은?

해제) 문제에서 주어진 정보가 차량 댓수()가 아니라 시간 간격()이다.  람다와 뮤의 관계는 아래와 같으므로 쉽게 변환된다. 엑셀에서는 포아송분포와 지수분포 모두 를 사용하므로, 엑셀을 사용해서 계산하려면 정보가 로 주어지면 로 변환해 주어야 한다.

문제 1) 엑셀을 가지고 그래프를 그려보자. 먼저 람다를 구한다. 그 다음 를 중심으로 X 값을 20-30개 정도 만든다. EXPON.DIST를 이용해서 f(X) 값을 구한다. ‘삽입’ 기능을 이용해 선(line) 차트를 플롯한다.

문제 2) 누적함수[식 (5)]를 적용해서 값을 계산한다.

엑셀에서도 동일한 값을 얻을 수 있다.

문제 3)

문제 4)

예제 4) 컴캐스트(Comcast)는 미국의 통신 회사이다. 고객에게 서비스 중단이 발생하면, 고객센터가 고장 신고를 받고 회사는 녹음된 메시지를 통해 서비스 중단 사실을 인지하고 있으며 서비스가 두 시간 이내로 복구될 것으로 예상한다고 알린다. 수리 시간은 지수확률분포를 따르며, 평균은 두 시간이라고 가정하자.

1) 케이블 서비스가 한 시간 이내로 수리될 확률은?

2) 수리가 한 시간에서 두 시간이 걸릴 확률은?

3) 오후 1시에 고객센터에 전화를 한 고객에게, 케이블 서비스가 오후 5시까지 수리되지 않을 확률은?

해제) 문제에서 주어진 정보가 가 아니라 이다. 로 변환하면, .

문제 1)

문제 2)

문제 3)

예제 5) 명동의 한 테이크 아웃 식당은 25분에 음식을 사갈 수 있다고 광고합니다. 고객이 가지고 갈 수 있도록 테이크 아웃 음식을 준비하는데 평균 25분인 지수확률분포를 따른다고 가정하자.

1) 테이크 아웃 주문이 20분 이내 준비될 확률은?

2) 고객이 주문하고 30분 후에 도착했을 때, 주문이 준비되지 않을 확률은?

3) 한 고객이 그 식당에서 15분 거리에 산다. 이 고객이 오후 5시 20분에 전화 주문을 한다면, 식당에 가서 주문한 음식을 테이크 아웃하여 오후 6시까지 집에 돌아올 수 있는 확률은?

해제) 이 문제에도 주어진 정보는 가 아니라 이다. 로변환하면, .

문제 1)

문제 2)

문제 3) 5시 20분 고객의 주문을 받자마자 음식을 준비하여 15분 후 고객이 식당에 도착할 때까지 테이크 아웃 음식 준비를 마치면, 고객은 5시 50분이면 집에 돌아올 수 있다. 그렇다면  6시까지 돌아오면 되니 식당은 25분 안에 음식 내보낼 준비를 마치면 된다. 결국 주문이 25분 이내에 준비될 확률을 묻는 문제이다.

이상으로 지수분포에 대한 설명을 마친다. 지수분포가 포아송분포와 긴밀하게 연관되어 있으며, 포아송분포는 단위 시간 당 발생횟수에 관한 확률분포이고, 지수분포는 시간 간격(혹은 걸리는 시간)에 관한 확률분포임을 기억해 두자. 또한 균일분포에 이어서 지수분포도 연속확률분포의 확률은 그래프 아래의 면적임을 보여주었다. (2020-09-02)